Beim Parkett wird, ebenso wie beim Bandornament, ein Grundmuster wiederholt. Allerdings findet beim Parkett die Verschiebung in alle Richtungen der Ebene statt, so dass eine Fläche entsteht. Sechseckgitter – wird auch Bienenwabenmuster genannt In der Parkettierung der Abbildung 3 gibt es keine Kongruenzabbildung, die das dunkelgrüne Rechteck in das dunkelrote überführt. Die Parkettierung besteht aus zwei Bahnen, den grünlichen und den rötlichen Rechtecken, und ist damit 2-isohedral. Ist k > 1 {displaystyle k>1} , wird die Parkettierung gelegentlich auch anisohedral genannt. Bei einer Kachel sagt man, sie ist k {displaystyle k} -anisohedral, oder, sie hat die isohedrale Zahl k {displaystyle k} (engl. isohedral number), wenn sie parkettiert und k {displaystyle k} -isohedral ist, aber nicht m {displaystyle m} -isohedral für m < k {displaystyle m<k} . [7] So gesehen hat das (3:1)-Rechteck der Abbildung 3 die isohedrale Zahl 1, da es mit ihm natürlich auch isohedrale Parkettierungen gibt. Claus Schönleber / Frank Klinkenberg-Haaß Goldene Schnittmuster Es gibt aber auch Kacheln, die zwar parkettieren, zu denen es aber überhaupt keine transitive Parkettierung geben kann. Ein Beispiel ist der Pflasterstein von Heinrich Heesch (siehe Abbildung 4), bei dem nach der Gegebenheit der grünen und blauen Kacheln die (gespiegelten) gelben und roten zwar für die Parkettierung erforderlich sind, es aber keine Kongruenzabbildung gibt, die grüne oder blaue Kacheln in gelbe bzw. rote überführen würde. Bspw.

können durch eine Achsenspiegelung grüne oder blaue Kacheln in gelbe bzw. rote überführt werden, die Bilder der gelben und/oder roten erfahren dabei aber einen Versatz um 2 Raster, so dass sie nicht mit grünen oder blauen Kacheln zur Deckung zu bringen sind. Eine Kongruenzabbildung (euklidische Bewegung) der Ebene, welche jede Kachel einer Parkettierung wieder auf eine Kachel abbildet, heißt „Symmetrie“ der Parkettierung. Die Menge aller Symmetrien heißt Symmetriegruppe (der Parkettierung). Sie ist eine Untergruppe der Gruppe E ( 2 ) {displaystyle {rm {E(2)}}} der euklidischen Bewegungen der Ebene. Enthält die Symmetriegruppe einer Parkettierung zwei linear unabhängige Verschiebungen, so heißt die Parkettierung „periodisch“ und die entstehende Symmetriegruppe ebene kristallographische Gruppe von denen es genau 17, die sogenannten Tapetenmustergruppen, gibt. Häufig schränkt man den Begriff noch weiter ein, indem man z. B. fordert, dass alle Kacheln homöomorph zur abgeschlossenen Kreisscheibe sind (damit insbesondere kompakt und einfach zusammenhängend), oder aber, dass jede Kachel kongruent zu einem Element einer endlichen Auswahl von Kacheln (den sogenannten „Proto-Kacheln“) ist, dass also nur endlich viele verschiedene Kacheln auftreten.

Gibt es genau eine Protokachel, so heißt die Parkettierung monohedral.